ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

สิ่งหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญในเรื่องของความสัมพันธ์ คือคู่อันดับ (Ordered Pairs) คู่อันดับนั้นเกิดขึ้นจากการเรียงลำดังกันระหว่างสิ่งสองสิ่ง นั่นก็คือว่า คู่อันดับนั้น จะต้องมีคุณสมบัติเป็นคู่ และมีอันดับในตัวด้วยคู่อันดับแต่ละคู่นั้น จะต้องประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว นั่นคือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง และการที่จะเป็นสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังนั้น จะมีการแสดงอันดับที่สำคัญมาก เช่น การเขียนอันดับของ บิดากับบุตรชาย (พระอภัยมณี , สุดสาคร)สมาชิกตัวหน้าคือ พระอภัยมณี เป็นบิดา และสมาชิกตัวหลังคือ สุดสาคร เป็นบุตรชาย จากคู่อันดับนี้ หากเราสลับที่กันระหว่างคู่อันดับทั้งสองให้กลายมาเป็น (สุดสาคร, พระอภัยมณี) ความหมายอันดับก็จะผิดไปจากเดิมที่เป็นอยู่ กลายเป็นว่าสุดสาครเป็นบิดา และพระอภัยมณี เป็นบุตรชาย ซึ่งไม่ถูกต้อง

      ในทางคณิตศาสตร์ คู่อันดับนั้นจะนิยมเขียนในรูปของสัญลักษณ์ โดยกำหนดให้ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง และตกลงว่าคู่อันดับ (a, b) นั้น จะเท่ากับคู่อันดับ (x, y) ก็ต่อเมื่อ a = x และ b = y นั่นคือ จัดลำดับเดียวกันให้นำมาเท่ากันเท่านั้น

      คู่อันดับ (Ordered Pairs) แต่ละคู่ประกอบด้วยองค์ประกอบ 2 ตัว ตัวหน้า เรียกว่า องค์ประกอบตัวแรก (first component) ตัวหลัง เรียกว่า องค์ ประกอบตัวที่สอง (second component)  ถ้า a เป็นองค์ประกอบตัวแรก และ b เป็นองค์ประกอบตัวที่สอง จะเขียนได้เป็น (a,b) อ่านว่า คู่อันดับ เอ บี โดยทั่วไป เนื่องจากคู่อันดับต้องเป็นคู่และมีอันดับ 

     สมบัติของคู่อันดับ
  1.  ยกเว้น 
  2. ก็ต่อเมื่อ  และ 
  3. ก็ต่อเมื่อ  และ 

  จากคุณสมบัติดังข้างต้นนี้ เราจะนำมาแทนค่าตัวเลขลงไปเพื่อที่จะได้เห็นชัดขึ้น เช่น
   แต่ 
   ก็ต่อเมื่อ  และ 
   ก็ต่อเมื่อ  และ 

 ถ้าให้ และ  (คือเซต A และ เซต B ) สามารถที่จะหาคู่อันดับได้โดยกำหนดให้สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ B เรียกเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ A และ ของ Bเขียนแทนด้วย นั่นคือ
      นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต  B คือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B และเราสามารถเขียน  โดยวิธีการกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้ และ 
         หากลองสลับระหว่าง  มาเป็น  คำตอบที่ได้จะเปลี่ยนแปลงไป คือ    แต่ถ้า และ เราจะได้ว่า  และ 

     ข้อควรสังเกต1. สำหรับเซต  A ใดๆ 
2. สำหรับเซต A และ เซต B ใดๆ  ยกเว้น  หรือ  หรือ 
3.ถ้า และ เป็นเซตอนันต์แล้ว และ  เป็นเซตอนันต์
4.เป็นเซตจำกัด ซึ่ง  และ  เป็นเซตอนันต์แล้ว  และ  เป็นเซตอนันต์
5.และ  เป็นเซตอนันต์แล้ว  และ  เป็นเซตอนันต์
6.ถ้า แล้ว 
7.เมื่อ และ เป็นเซตจำกัด 
8.ถ้า แล้ว แล้ว 
9.ถ้า และ  แล้ว 
10.
11.
12.
13.
14.

      หมายเหตุ
  เมื่อ เป็นเซตจำกัดและไม่เป็นเซตว่าง
1. 
2.
3.

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ เป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ถ้าเรากำหนดให้ A = {1,2,} เราจะทราบว่า  และถ้า  เราจะได้ 
       จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า
เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ r
เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ  เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ r

       นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r  ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r  นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย  และ เรนจ์ด้วย  ดังนั้น และ 

   

      ให้ และ  จงหา  และ 

   การแก้ปัญหา : 

ดังนั้น   และ 

      จากตัวอย่างดังข้างต้น เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า  y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ จากความเข้าใจนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์ ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่
  1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
  2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์
ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ
      การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด
      การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ  แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้  x เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด

   

1.
2.
3.

   การแก้ปัญหา : 
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์

จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน  y สามารถเขียนกราฟของ ได้เสมอ

แสดงว่า และ 
หรือ 
หรือ 

   วิธีที่ 2   พิจารณาจากความสัมพันธ์  จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า  y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ  ได้เสมอ นั่นคือ  และ