สิ่งหนึ่งที่เป็นพื้นฐานสำคัญในเรื่องของความสัมพันธ์ คือคู่อันดับ (Ordered Pairs) คู่อันดับนั้นเกิดขึ้นจากการเรียงลำดังกันระหว่างสิ่งสองสิ่ง นั่นก็คือว่า คู่อันดับนั้น จะต้องมีคุณสมบัติเป็นคู่ และมีอันดับในตัวด้วยคู่อันดับแต่ละคู่นั้น จะต้องประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว นั่นคือ สมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลัง และการที่จะเป็นสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังนั้น จะมีการแสดงอันดับที่สำคัญมาก เช่น การเขียนอันดับของ บิดากับบุตรชาย (พระอภัยมณี , สุดสาคร)สมาชิกตัวหน้าคือ พระอภัยมณี เป็นบิดา และสมาชิกตัวหลังคือ สุดสาคร เป็นบุตรชาย จากคู่อันดับนี้ หากเราสลับที่กันระหว่างคู่อันดับทั้งสองให้กลายมาเป็น (สุดสาคร, พระอภัยมณี) ความหมายอันดับก็จะผิดไปจากเดิมที่เป็นอยู่ กลายเป็นว่าสุดสาครเป็นบิดา และพระอภัยมณี เป็นบุตรชาย ซึ่งไม่ถูกต้อง
ในทางคณิตศาสตร์ คู่อันดับนั้นจะนิยมเขียนในรูปของสัญลักษณ์
คู่อันดับ (Ordered Pairs) แต่ละคู่ประกอบด้วยองค์ประกอบ 2 ตัว ตัวหน้า เรียกว่า องค์ประกอบตัวแรก (first component) ตัวหลัง เรียกว่า องค์ ประกอบตัวที่สอง (second component) ถ้า a เป็นองค์ประกอบตัวแรก และ b เป็นองค์ประกอบตัวที่สอง จะเขียนได้เป็น (a,b) อ่านว่า คู่อันดับ เอ บี โดยทั่วไป
เนื่องจากคู่อันดับต้องเป็นคู่และมีอันดับ
สมบัติของคู่อันดับ
1.
ยกเว้น ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQdOvjMQcpYuzVPApBJKkPQwNdA55JWVwXzaWdD4ETeqFy_RerFKfSnVRlqj0qFdnHM_q8KdLjc5RBr0aR9HR5z_j1VVNGYJHvRXHhuh0rFN-xv7ScvS3fRJOLS1v-BquYim8=s0-d)
2.
ก็ต่อเมื่อ
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uwI9SIU53GM8GGxT6EKWh1HyWKLl7QJD2mPuM8NhbPTBB9KiozTjYWcDI6C9YtKW0Cg5hgZ9tqB6Z9bWa27Y_Ai66_foqmjfanXOU71uH03e28xPY9qGEdYTa9RIEoTpS05jMS=s0-d)
3.
ก็ต่อเมื่อ
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vG8OcEwN5i_heBQMBeAVcxoTtsAzkgBiZhPTH3K1wsHfN6B7xYWP9bhUm9K9px6TehDOq-Dbx4VtriwHCb1T26PDK-z6ysj9inkU_AzeDTTNcddXpW1YvKirWoJhQOTfpB9LFD=s0-d)
1.
2.
3.
จากคุณสมบัติดังข้างต้นนี้ เราจะนำมาแทนค่าตัวเลขลงไปเพื่อที่จะได้เห็นชัดขึ้น เช่น
แต่ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sSbqrbjIpu6yBHhWmVPIQFjGWPYH_la3_viZOKPMJKMOSzMWqob2sM2uxEXZEJy5IYxpOAV14FBv7FnUjO8tYRIB7sbmEUIqvVlvimR2Rj-AkUJetomSEs3i8A1r0kKl7yug=s0-d)
ก็ต่อเมื่อ
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRyaeqpFejtpdr0CMHF9-2l6nwChNs61gmIFUJHo089pD3FHs8j8_8eNT8NuxvnhGNKlLIf4ONqhgJjjU7IbldXT_yloU9MoOmgfYCC-NOhhmnw81XM7b6dpRLY95JDNtCcQ=s0-d)
ก็ต่อเมื่อ
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tleK_VwvtqeCwBNdNPEea1PmL7f6FSALrZrcIhv_MyFlMJp0HpnbdANd27c3IEQXnCWHm8oU82Ojnd-uJqdmvhhFC0eyyEJtm9Q-pA11O5txhI8qDPvLJnifMlnGkQyRpj=s0-d)
ถ้าให้
และ
(คือเซต A และ เซต B ) สามารถที่จะหาคู่อันดับได้โดยกำหนดให้สมาชิกตัวแรกของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ A และสมาชิกตัวที่สองของคู่อันดับเป็นสมาชิกของ B เรียกเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้ว่า ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ A และ ของ Bเขียนแทนด้วย
นั่นคือ
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B และเราสามารถเขียน
โดยวิธีการกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tk3usNq2ESw7Y-eb4qnzme8zxL727Nzi5RxmNgjIFVFdjpbYr6PyodL5wJnSpf4B5k5nk1qGOitS87Xb8QdHqJXXmEcuSlhu5s0EY1MzFHEWaCssuXvxFslIZzd8yrSK94Kg=s0-d)
หากลองสลับระหว่าง
มาเป็น
คำตอบที่ได้จะเปลี่ยนแปลงไป คือ
แต่ถ้า
และ
เราจะได้ว่า
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vMXZgL0EoPjAKiItq6LeKrXhi9uVahJypmayM2wzeCxHTAROYR-oy6VbWpbUPoBdomINwuvR-0HS0dD-ahBHSPNAcZdDiqtH70AdvlRiH_cjsXtcY_U451P_KXFo2RVtqmTk8=s0-d)
นิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (x,y) ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของ A และ y เป็นสมาชิกของ B และเราสามารถเขียน
หากลองสลับระหว่าง
ข้อควรสังเกต1. สำหรับเซต A ใดๆ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sd4h07VXc07Y4vi7EjzM2rkQS03wkQ_8jDD7_JwL7V4FV7Myc_NgU4V7LLgbq2I1n51QekZ4nCFp2lW8noFk2HvYSBPxMzHsrFTqF_aB3wsg-_wILX0lwTCT9unNM_hR-2YRg=s0-d)
2. สำหรับเซต A และ เซต B ใดๆ
ยกเว้น
หรือ
หรือ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uPi-qIUYXEwZZSSjTCfppbllsl1Re_QQouwUwBtoYxDWGJKJjkU-57peb3_iVCdAXSaC1ZMHHlx84XVcvRKR37tNaUKR_Jtel5gABFQ5WcP4osMXHkLvMxoC72P72Z2HJLXNA=s0-d)
3.ถ้า
และ
เป็นเซตอนันต์แล้ว
และ
เป็นเซตอนันต์
4.
เป็นเซตจำกัด ซึ่ง
และ
เป็นเซตอนันต์แล้ว
และ
เป็นเซตอนันต์
5.
และ
เป็นเซตอนันต์แล้ว
และ
เป็นเซตอนันต์
6.ถ้า
แล้ว ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tWO6FPHIQP4sN8SPSKRD8ltoYuuT5hok_Neq-w6qn7huXvMo4YEd0G5yulj8B9zgqsENKCeE7fO2yzzGxdFtPbW8TyAbbQzONekQP4PXa6dvx6kEerP5rxFZ3ZEs0eQFZ8vw=s0-d)
7.เมื่อ
และ
เป็นเซตจำกัด ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_svnxgF_8FpfIhs5eeDP6X6VMEVIcwIW1l78DwzzmRelbWjbUBlPwQFNfOTwOaNjsaxn_iHOhhjhDXmQlGhak-w-FICCrzB_eXmfm4oBz6cbOgLXmJ6wAd2azVJOYnHvoGXZw=s0-d)
8.ถ้า
แล้ว
แล้ว ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u7Q2YHaVKhMNNoTNcoC47ockjM-Yqnq8FlyvoMMYPLsvdUyhStfYls2f0kXhyqtXf-l2Gi9-UReOueL5TrmrbUzC2ws0iDDv9-rBHBixdxXVQUGG1SpYgAvsXAF141wMIdqg=s0-d)
9.ถ้า
และ
แล้ว ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcUMf5DZUoiWTM98HpcRuATV-w1BHd5yA4QVrPwmWjN1xrAtCGs2AYxKzGkzpBfYMDuWpwTNBVbP2KTVly_IWFc-omKtqnV7MA0tixZX-bNoTHbFlQMkeix8ZNoO-wQ08ADeI=s0-d)
10.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sqbtfR4OMNkpVkZYj9Zx4WqAn-SPRmEOEasJ_LIPpyPz0bU8zEI1OR1A8lWi10X3K0Qm25fVu_COpsZyWtxcDav72-kuKEFBKRiqgYtahjuJzwVUjF6jO7Xs404Lwn3VcdP9c=s0-d)
11.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tlpWn4t7pcRehIHf8Zm7pAt0-DrTAYreW6jhhyYQq77sEK8gP74-Ic9vIINsJOguw7_ohsR_A_lERMkajkhiRhN5cfhDWsZoVh7nZRI8CCrap6sCwrff33ks2U591nNn_BUBs=s0-d)
12.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uGCtYE_t5VafZ454k_ZDXQbFrLMhgkjoBWQiZs_dHNz8Pr3_hDVRQCHMB9_sL3CmuOKhBmEgHN1jFw4FHmdZ4AQOxr0TIvNCJGTbsJMPdqoNYJAQ_TSdTrdYlHlZYxhVdcMS8=s0-d)
13.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_usIZ7JIAXdmOemDHq3Wj3lRTpgYnzAVNjH0LauUV0HfHUbrZepnZwtaM4z1LMgm9GjZqElXkgjmxWVh2m1ugygH31taxThAX2e3EZWGLCdXFKcOze-GjfLPigUxtTHTPT8HA=s0-d)
14.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vcNXU2NaLQCTJhu5G4cPnksIxjp4cWQaGoVUzOApcuRLmFtSyw0NdC54V7mWJkNJJIZ4Tgwi71PV_u1DDequgP7XL1bXwTYjM0zlGLdKOjh5zXq429J6Eq2VjBoHcUD90jB44=s0-d)
2. สำหรับเซต A และ เซต B ใดๆ
3.ถ้า
4.
5.
6.ถ้า
7.เมื่อ
8.ถ้า
9.ถ้า
10.
11.
12.
13.
14.
หมายเหตุ
เมื่อ
เป็นเซตจำกัดและไม่เป็นเซตว่าง
1.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sjfUnpC4DdbveKe2wvT1Bz9YOrO0b-wIr_w1RSZF28UNPPLdjVi94hbmlQ5EwMfaQuzFpCmTEpDJhEvSWkS5F6_qzg5MfLQU0vllk5USb2nBrNrzsoUmcTps_XqUIcsPzkgQ=s0-d)
2.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_va-vZrcxFy9gXIxgtJ-FAlzPT9eEZLNfP4QDkDbg-XuIY_GkfnkLJkwcEc413Izipd5wE_TFGD2jQKsaNWn8oMLLvC8FfSaWB5IxcmrBDYG7F27Dsx47mEz9De6O9DpOcuPA=s0-d)
3.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_usPXeC3YJ16ZTFtZi21H57sHokqtee80MyINC1jNarsewOim5kQXsyU00N2f6Hi-I4giv1bzV-rgoKNGoysRNhmKOYWrAOLmnBHWvr72bUPVAEIFwg3_Xv-CHzlfURrjAAHAM=s0-d)
เมื่อ
1.
2.
3.
จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า
เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ r คือ
เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ r คือ
นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย
และ เรนจ์ด้วย
ดังนั้น
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXh5NeseO_vJJTqHL1BGgKXQFZODjfOo33r0dEnvQ9HVMlO-k4hr3W_z3ECdi7RLi2qoGoen7XUl_SdH4BMqUJ4N-VGPYtNWVcabaBsyw5yM4kkClZoljDCl_X8oZIpRqS8qPh=s0-d)
ให้
และ
จงหา
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vwDXA7LQWf1rsRtusbDBnnbTeYG86YC3jrvqarorT_HdScR4MUfHtC4ph7EUTeS2XuOU6A6rA8IjZRKEGLdNTc0jGpkH0loS3vX_Kb4FCBry5SmzcaoGURDaqqkyGRZlJJEwI=s0-d)
การแก้ปัญหา : ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v4DroHIgRYZ70yhFMGLgvOTKtSQtRgWL2SDmsCBrgJ937AIeQ-90sFBRQVxYU6Ol6lYNm6XTnL9dGjEY5pynGx_9ZiNp-pC2adn0Rwgy6TEEPKsqBoo4rcM-ItvlYPrzNBQ5Y=s0-d)
![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vX-9K3XeBsgjkVWS6eeDBY65JmUmS1mGX7r7Vqro81dS2p-xWt3Kk5mv0HYFhp8RdmQMffW6y4qDmNAtrxW1ZlDHGw8GwHooVDszpnQC8_v8N0EmvT3QKiyO3SWELDugcp7t4=s0-d)
ดังนั้น
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vTnZiBaE9yP8gP4wg7rpQy5N36Va_hg8z6iddPU1gbEI7H9y4RqV-BWDjd3YlOSaqyvAzocTMEfhsiyc1krd9BTHmZqM9eQljIZ4z9CY4BM84bco7ni5q2trD_Ix49mDfNMmc=s0-d)
ดังนั้น
จากตัวอย่างดังข้างต้น เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งจะพบว่าค่า x ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า y ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ จากความเข้าใจนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น
ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ x หรือ y จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์ ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่
1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์
ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ
การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ
แล้วพิจารณาค่าของ x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด
การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ
แล้วพิจารณาค่าของ y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด
1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์
ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ
การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด y ในรูปของ x นั่นคือ
การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด x ในรูปของ y นั่นคือ
1.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txjfBfKbqubMPDNGopnB0sVfnC2KXh_AEiGTvmRTUnRXPzXS7XLA-CoXuzdlqrnFKg6EcA9sqi3DCGlo-HtvFOfGEa7EWVTIXMbxQWouE2hZYf-NiD0mLu1u7mkbpGgqh_8Js=s0-d)
2.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sihrqFza0jb6oHQ4VfxsGpZxLTBreBe-zr2iAGRULYdZmCLOCbpro2Q0Z5ewrmDHGnC_JicA3xNXStu5NtWHCX9l-V7NOuFrwrKOv7nB_8MXpwSRJC6yAGxnymHWVHhA-IT0Fz=s0-d)
3.![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tHDf4jMqANAQYvlK7I1gk2EowVpPEjGo7MAbUb9ByM7-1wEga3FJAdx1-mGVcpaaB6_k_FclLS09WRVJg2GN7mnMpORUQcc5CobmfaUuBi6npyhQaFb4L9qrkHU8JkPK_yW8qM=s0-d)
2.
3.
การแก้ปัญหา : ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_txjfBfKbqubMPDNGopnB0sVfnC2KXh_AEiGTvmRTUnRXPzXS7XLA-CoXuzdlqrnFKg6EcA9sqi3DCGlo-HtvFOfGEa7EWVTIXMbxQWouE2hZYf-NiD0mLu1u7mkbpGgqh_8Js=s0-d)
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน y สามารถเขียนกราฟของ
ได้เสมอ
แสดงว่า
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uXh5NeseO_vJJTqHL1BGgKXQFZODjfOo33r0dEnvQ9HVMlO-k4hr3W_z3ECdi7RLi2qoGoen7XUl_SdH4BMqUJ4N-VGPYtNWVcabaBsyw5yM4kkClZoljDCl_X8oZIpRqS8qPh=s0-d)
หรือ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vPjfvFg2Bb1tnZ3luESy2yCfJG31bvQMyNqMJfx5mCu6RZ96vkajljJ8xVGQCbrzoHU2sq4jzLBhO738ciNuCCIhnE20VFM9qw8__PECgs__07bn4E2W3ruT6tz776-W2u9gOp=s0-d)
หรือ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vVrkwXIzG3VQK4dsSwpZaOR0pXK6lcy_6PPyUEnD_fz6tEZrg_4_KwLD8G_1Wjpi4iJ7OmsXTsmkXlpYPspSp_CzaM6C020MdByXmsg_cn-SapeKrVUAkZpaXjFgiXyFI11fFq=s0-d)
หรือ
หรือ
วิธีที่ 2 พิจารณาจากความสัมพันธ์
จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า x ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า y ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ
ได้เสมอ นั่นคือ
และ ![](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tU-RqvzDJzTTOwlXOPwNpHV3hpfodSKWFQ_UMViWS6m8mLzmPXIIsh0t9XGcvSe4ozzpu2x-69fPqKdL_yu8OmsIl61W_jHCMuri1lWzbU-o-Et6gLQFXP3tfjSg_KsamuKgs3=s0-d)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น